过渡矩阵是基与基之间的可逆线性变换矩阵，其可逆性可以从以下几个角度进行解释：

一、定义与性质

基与基的转换关系

过渡矩阵 $P$ 定义为从基 $A = （a_1, a_2, dots, a_n）$ 到基 $B = （b_1, b_2, dots, b_n）$ 的转换矩阵，满足 $B = AP$。由于基是线性无关的向量组，$A$ 和 $B$ 都是满秩矩阵（秩为 $n$）。

线性无关性

基向量组线性无关，意味着矩阵 $A$ 和 $B$ 的列向量组线性无关。根据线性代数的理论，满秩矩阵是可逆的。

二、矩阵可逆的充要条件

行列式非零

对于 $n times n$ 矩阵 $A$，若 $det（A） neq 0$，则 $A$ 可逆。过渡矩阵 $P$ 作为基转换矩阵，其行列式 $det（P）$ 也非零。

秩等于维度

矩阵 $P$ 的秩 $r（P）$ 等于其维度 $n$，即 $r（P） = n$，这也是矩阵可逆的充要条件。

三、具体证明过程

基转换公式

设 $X$ 是向量在基 $A$ 下的坐标，$Y$ 是在基 $B$ 下的坐标，则有 $X = PY$。由于 $B = AP$，两边同时左乘 $A^{-1}$ 得到 $A^{-1}B = P$，即 $P = A^{-1}B$。因为 $A$ 和 $B$ 都可逆，所以 $P$ 也可逆。

线性无关性的应用

基向量组线性无关，意味着矩阵 $P$ 的列向量组线性无关。根据线性代数的理论，列向量组线性无关的矩阵是可逆的。

四、总结

过渡矩阵可逆的本质在于它作为基转换矩阵的满秩性。基与基之间的转换是唯一且可逆的，这种转换关系保证了过渡矩阵的行列式非零、秩等于维度，从而满足可逆矩阵的所有条件。