数学上的弹性是一个描述变量间相对变化敏感程度的概念，其核心定义和性质如下：

一、基本定义

弹性衡量的是一个变量（因变量）的相对变化率与另一个变量（自变量）的相对变化率之间的比率。其基本公式为：

$$E = frac{text{因变量的相对变化率}}{text{自变量的相对变化率}}$$

或者用微分形式表示：

$$E = frac{dy/dx}{x}$$

其中，$y = f（x）$ 表示两个变量之间的关系，$dy/dx$ 是函数 $y$ 关于 $x$ 的导数，$x$ 是自变量。

二、关键性质

点弹性

当自变量 $x$ 趋近于 0 时，弹性公式 $E = frac{dy/dx}{x}$ 的极限值称为点弹性，用于描述函数在某一点处的敏感程度。

弧弹性

弹性系数通常通过计算两个变量变化前后的相对变化率之比得到，称为弧弹性。其公式为：

$$E = frac{frac{f(x_2) - f(x_1)}{f(x_1)}}{frac{x_2 - x_1}{x_1}}$$

弧弹性考虑了自变量和因变量的整体变化，是经济学中常用的弹性计算方法。

三、应用领域

经济学

需求价格弹性 ：衡量商品需求量对价格变动的反应程度，公式为：

$$text{PED} = frac{Delta Q/Q}{Delta P/P} = frac{dQ}{dP} cdot frac{P}{Q}$$

用于判断商品是弹性、单位弹性还是非弹性。

其他弹性 ：包括需求的收入弹性、交叉弹性、供给弹性等，分别描述需求/供给对收入、相关商品价格变动的反应。

工程与物理

弹性模量（如材料力学中的杨氏模量）描述材料在受力后恢复原状的能力，公式为 $E = frac{sigma}{varepsilon}$，其中 $sigma$ 为应力，$varepsilon$ 为应变。

四、示例

以需求价格弹性为例，若某商品需求函数为 $Q = 100（2 - P）$，则：

$$frac{dQ}{dP} = -100$$

在价格 $P = 1$ 时，$Q = 150$，此时需求价格弹性为：

$$text{PED} = frac{-100 cdot 1}{150} = -frac{2}{3}$$

由于弹性系数为负，表示需求与价格呈反向关系，且为弹性需求。

综上，数学中的弹性通过变化率之比量化变量间的敏感关系，既适用于经济学分析，也广泛应用于工程与物理领域。