数学的研究对象和范畴可以从多个维度进行概括，综合权威资料的信息如下：

一、核心研究对象

数学主要研究 数量关系与空间形式 ，这是其最基础且核心的范畴。具体包括：

数量关系 ：如代数中的数与式、方程、不等式，几何中的面积、体积计算等；

空间形式 ：包括平面几何、立体几何以及更高维度的拓扑结构。

二、学科分类

数学可划分为两大类：

纯粹数学（基础数学）

专注于数学本身的内部规律，如代数结构、几何性质、数论等，不直接依赖应用；

应用数学

侧重将数学方法应用于解决实际问题，如物理、工程、经济等领域的建模与分析。

三、研究方法与特征

数学以抽象化、形式化、逻辑推理为核心方法，具有以下特征：

高度抽象性 ：通过符号和公理体系构建通用理论；

严密逻辑性 ：依赖公理化体系推导定理，确保结论的严谨性；

应用广泛性 ：渗透到自然科学、工程技术、社会科学等几乎所有领域。

四、历史发展与争议

数学对象和范围的界定在历史中不断演变。例如，19世纪数学家开始关注数学结构本身，而现代数学则更强调抽象集合、拓扑空间等概念。此外，哲学界对数学的本质（如是否为“人类发明”）仍存在争议。

五、基础与工具作用

数学是现代科学技术的基石，为其他学科提供语言和工具。例如，微积分在物理学中的运动分析，概率论在统计学中的应用等。

综上，数学通过研究数量关系与空间形式，构建抽象理论体系，并通过应用数学解决实际问题，成为人类文明与科技发展的关键支柱。