在高数中，求函数极值点的基本方法主要包括以下步骤和注意事项：

一、驻点的求解

求导数

首先对函数 $f（x）$ 求一阶导数 $f'（x）$。

解方程 $f'（x） = 0$

所有使导数为零的点称为驻点，这些点可能是极值点。

二、极值点的判定

一阶导数符号变化法

若 $f'（x）$ 在驻点左侧为正，右侧为负，则该点为极大值点；

若 $f'（x）$ 在驻点左侧为负，右侧为正，则该点为极小值点；

若符号不变，则该点不是极值点。

二阶导数测试（可选）

若 $f''（x_0） > 0$，则 $x_0$ 为极小值点；

若 $f''（x_0） < 0$，则 $x_0$ 为极大值点；

若 $f''（x_0） = 0$，则测试失效，需用其他方法。

三、边界点与不可导点的处理

边界点

若函数定义在有界闭区间上，需检查区间端点的函数值，最大值和最小值可能出现在边界。

不可导点

若驻点处导数不存在，需单独判断该点是否为极值点（如折点、尖点等）。

四、特殊函数的处理

分段函数 ：需在每个分段内分别求导并判断极值，再综合比较。

隐函数/参数方程 ：需通过隐函数求导法则或参数方程求导后判断。

示例步骤（以 $f（x） = x^3 - 3x^2 + 2$ 为例）

求导：$f'（x） = 3x^2 - 6x$

解方程：$3x^2 - 6x = 0$ → $x = 0$ 或 $x = 2$

判断符号：

$x < 0$ 时，$f'（x） > 0$；

$0 < x < 2$ 时，$f'（x） < 0$；

$x > 2$ 时，$f'（x） > 0$

因此，$x = 0$ 为极大值点，$x = 2$ 为极小值点。

总结

求极值点的核心步骤是求导、找驻点、判断符号变化，必要时结合二阶导数或边界条件。特殊函数需针对性处理，如分段函数需分段分析。