考研积分公式的学习需要系统掌握基本公式和计算技巧，以下是关键内容总结：

一、基本积分公式

幂函数积分

$$int x^n , dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C quad (n neq -1)$$

例如：$int x^2 , dx = frac{x^3}{3} + C$

三角函数积分

$int sin x , dx = -cos x + C$

$int cos x , dx = sin x + C$

$int tan x , dx = -ln|cos x| + C$

$int cot x , dx = ln|sin x| + C$

$int sec x , dx = ln|sec x + tan x| + C$

$int csc x , dx = ln|csc x - cot x| + C$

指数函数积分

$$int e^x , dx = e^x + C$$

$$int a^x , dx = frac{a^x}{ln a} + C quad (a > 0, a neq 1)$$

对数函数积分

$$int ln x , dx = x ln x - x + C$$

$$int frac{1}{x} , dx = ln|x| + C$$

二、常用积分方法

凑微分法（第一类换元法）

通过变形将被积函数转化为基本积分形式，例如：

$$int x^2 sin x , dx = int x^2 , d(-cos x) = -x^2 cos x + int 2x cos x , dx$$

然后对剩余部分继续使用分部积分法。

换元法

根式换元 ：令 $x = tan theta$，则 $dx = sec^2 theta , dtheta$（适用于 $sqrt{1 - x^2}$）

三角换元 ：令 $x = sin theta$，则 $dx = cos theta , dtheta$（适用于 $sqrt{1 - x^2}$）

倒代换 ：令 $x = frac{1}{t}$，适用于 $（n - m > 1）$ 的情况

分部积分法

适用于两个函数乘积的积分，公式为：

$$int u , dv = uv - int v , du$$

例如：$int x sin x , dx = -x cos x + int cos x , dx = -x cos x + sin x + C$

高斯公式（散度定理）

用于计算曲面积分，公式为：

$$iint_S mathbf{F} cdot dmathbf{S} = iiint_V (nabla cdot mathbf{F}) , dV$$

适用于向量场在封闭曲面上的积分

三、计算技巧

对称性利用

奇函数在对称区间上的积分为0：$int_{-a}^a f（x） , dx = 0$（若 $f（x）$ 为奇函数）

偶函数可简化计算：$int_{-a}^a f（x） , dx = 2 int_0^a f（x） , dx$

参数方程代换

例如计算 $int sqrt{1 - x^2} , dx$，令 $x = sin theta$，则积分变为 $int cos^2 theta , dtheta$，再利用三角恒等式简化

分部积分的“分而治之”

通过多次分部积分