变上限积分求导是高等数学中的重要内容，其核心公式和推导方法如下：

一、基本公式

对于函数 $g（x） = int_{a}^{x} f（t） , dt$（其中 $a$ 为常数，$x$ 为变量），其导数为：

$$g'(x) = f(x)$$

即变上限积分的导数等于被积函数在积分上限处的值。

二、证明过程（导数定义法）

根据导数的定义，有：

$$g'(x) = lim_{h to 0} frac{g(x+h) - g(x)}{h}$$

将 $g（x）$ 的表达式代入：

$$g'(x) = lim{h to 0} frac{int{a}^{x+h} f(t) , dt - int_{a}^{x} f(t) , dt}{h}$$

利用积分的区间可加性：

$$g'(x) = lim{h to 0} frac{int{x}^{x+h} f(t) , dt}{h}$$

根据积分中值定理，存在 $xi in （x, x+h）$ 使得：

$$int_{x}^{x+h} f(t) , dt = f(xi) cdot h$$

当 $h to 0$ 时，$xi to x$，因此：

$$g'(x) = lim_{h to 0} f(xi) = f(x)$$

三、扩展情形

若积分上限或下限是关于 $x$ 的函数，例如 $g（x） = int_{a（x）}^{b（x）} f（t） , dt$，则导数为：

$$g'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)$$

这一公式通过莱布尼茨积分法则推导得出。

四、注意事项

积分变量的符号不影响积分值，例如 $int{a}^{x} f（t） , dt = int{a}^{x} f（u） , du$；

若被积函数 $f（x）$ 在积分区间内连续，则上述公式成立。

通过以上方法，可以系统地求解变上限积分的导数问题。