基本向量组是线性代数中的一个重要概念，其定义和性质如下：

一、基本向量组的定义

基本向量组是指 线性无关的向量组 ，且该向量组能够 线性表示 所在向量空间中的任意向量。换句话说，若向量组中的向量线性无关，并且向量空间中的每个向量都可以由该向量组通过线性组合表示，则称该向量组为基本向量组。

二、基本向量组的性质

线性无关性

向量组中任意一个向量都不能表示为其他向量的线性组合。例如，向量组${（1,0）,（0,1）}$是线性无关的，因为不存在实数$a$和$b$使得$a（1,0） + b（0,1） = （0,0）$，除非$a=b=0$。

极大线性无关组

任何向量组都存在一个极大线性无关组，且极大线性无关组所含向量个数称为向量组的秩。基本向量组就是向量组的极大线性无关组。

唯一性（在有限维空间中）

向量空间的基本向量组在不计顺序的情况下是唯一的。例如，在$mathbb{R}^2$中，${（1,0）,（0,1）}$是唯一的基本向量组。

三、计算基本向量组的方法

高斯消元法

通过初等行变换将矩阵化为行最简形，非零行的首非零元所在的列对应的原向量组中的向量即为极大线性无关组。

列向量组的特殊情况

对于列向量组，基本向量组可以理解为矩阵的列空间的基。例如，矩阵$A$的列向量组${a_1, a_2, dots, a_n}$，通过高斯消元法可找到线性无关的子集，这些子集即为列空间的基。

四、示例

以二维向量空间为例，向量$（3,4）$可以由向量$（3,0）$和$（0,4）$线性表示：

$$

(3,4) = 1 cdot (3,0) + 1 cdot (0,4)

$$

因此，${（3,0）,（0,4）}$是一个基本向量组。

五、注意事项

基本向量组不一定要求是单位向量，只要满足线性无关且能线性表示其他向量即可；

在实际应用中，通常先通过高斯消元法等算法找到极大线性无关组，再根据具体问题判断是否为基本向量组。

综上，计算基本向量组的核心在于判断向量组的线性无关性，并通过适当方法（如高斯消元）将其转化为标准形式。