概率论中的分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）表示随机变量X小于或等于某个实数x的概率。以下是求分布函数的步骤：

离散型随机变量 ：

分布函数 $F（x） = P（X leq x）$ 是通过将所有小于或等于x的取值的概率求和得到的。

公式：$F（x） = sum P（X = x_i）$，其中 $x_i$ 是X可能取到的所有值，且 $x_i leq x$。

连续型随机变量 ：

分布函数 $F（x） = P（X leq x）$ 是通过概率密度函数 $f（x）$ 从负无穷到x的积分得到的。

公式：$F（x） = int_{-infty}^{x} f（t） , dt$。

分布函数的性质

非减性 ：对于任意 $x_1 < x_2$，有 $F（x_1） leq F（x_2）$。

有界性 ：$0 leq F（x） leq 1$。

右连续性 ：$F（x+0） = F（x）$。

规范性 ：$F（-infty） = 0$，$F（+infty） = 1$。

利用分布函数求概率

$P（a < X leq b） = F（b） - F（a）$。

$P（a leq X leq b） = F（b） - F（a-0）$。

$P（a leq X < b） = F（b-0） - F（a-0）$。

$P（a < X < b） = F（b-0） - F（a）$。

$P（X = a） = F（a） - F（a-0）$。

示例

假设随机变量X服从标准正态分布，即 $X sim N（0, 1）$，其概率密度函数为 $f（x） = frac{1}{sqrt{2pi}} e^{-frac{x^2}{2}}$。

求 $F（1）$：$F（1） = int_{-infty}^{1} frac{1}{sqrt{2pi}} e^{-frac{t^2}{2}} , dt$，这个积分可以通过查标准正态分布表或使用计算工具得到，结果为约0.8413。

通过上述步骤和性质，可以求解离散型和连续型随机变量的分布函数，并利用分布函数计算各种概率。