函数存在原函数并不意味着它一定是可积的。可积性取决于函数是否满足黎曼可积的条件，而原函数的存在性是另一个独立的概念。以下是具体分析：

一、可积的必要条件

根据黎曼可积的定义，函数在区间$[a, b]$上可积的必要条件是：

有界性 ：函数在区间上有界；

有限个间断点 ：仅有有限个第一类间断点（跳跃间断点或可去间断点）。

二、原函数与可积性的关系

原函数存在则可积 ：若函数$F（x）$是$f（x）$的原函数，则$F'（x） = f（x）$，且$F（x）$连续。由于连续函数必然可积，因此原函数存在时函数可积。

可积不一定有原函数 ：存在函数在区间可积但原函数不存在。例如：

震荡函数 ：$f（x） = sinleft（frac{1}{x}right）$在$（0, 1]$上可积（黎曼积分值为0），但不存在原函数，因为其导数在$x=0$处震荡且无界。

有第一类间断点的函数 ：如$F（x）$在$x=0$处可去间断，则$F（x）$不可导，因此不存在原函数。

三、典型反例说明

$f（x） = x^2 sinleft（frac{1}{x^2}right）$在$[0, 1]$上

该函数在每一点都可导，存在原函数$F（x）$，但$f（x）$在$x=0$处有无界间断点，因此不可积。

$f（x） = frac{1}{x}$在$（0, 1）$上

存在原函数$ln x$，但$f（x）$在$x=0$处有无穷间断点，不可积。

四、总结

充分性 ：原函数存在是可积的充分条件（若原函数连续或单调）；

非充分性 ：可积性要求更严格（有界且仅有限个间断点），而原函数可能因不满足这些条件而不可积。

因此，函数存在原函数只是可积的充分条件，而非必要条件。