极限不能随意拆分的原因主要与极限的存在性、无穷小量、趋近速度以及运算规则有关，具体分析如下：

一、极限存在性原则

拆分前提要求

极限拆分必须满足拆分后各部分的极限都存在。例如，$lim{x to infty} [（-1）^n cdot x]$ 中，$lim{x to infty} x$ 不存在，因此不能拆分为 $lim{x to infty} （-1）^n cdot lim{x to infty} x$。

反例说明

考虑 $lim{x to 0} frac{tan x - sin x}{x^3}$，若拆分为 $lim{x to 0} frac{tan x}{x^3} - lim_{x to 0} frac{sin x}{x^3}$，则两个极限均为无穷大，原极限不存在。

二、无穷小与无穷大的影响

无穷小与极限不存在的组合

当极限中包含无穷小与极限不存在的项时，拆分可能导致结果不确定。例如，$lim_{x to 0} [x cdot （-1）^n]$ 中，$x$ 趋于0（无穷小），$（-1）^n$ 极限不存在，拆分后无意义。

无穷大间的抵消不确定性

若拆分后两项均趋于无穷大，结果可能相互抵消。例如，$lim{x to infty} （x - sin x）$ 不能拆分为 $lim{x to infty} x - lim{x to infty} sin x$，因为 $lim{x to infty} sin x$ 不存在，但原极限存在且为无穷大。

三、趋近速度的差异

同趋零时的整体性

当分子分母同时趋近于0时，拆分可能改变极限值。例如，$lim{x to 0} frac{sin x}{x}$ 不能拆分为 $lim{x to 0} frac{sin x}{x^2} cdot x$，因为拆分后 $lim_{x to 0} frac{sin x}{x^2}$ 不存在，而原极限为1。

四、特殊运算规则限制

四则运算法则的适用条件

极限的加减法法则要求至少有一个部分的极限存在，而乘除法则要求所有部分的极限都存在。例如，$lim{x to infty} frac{（-1）^n cdot x}{x}$ 不能拆分，因为 $lim{x to infty} （-1）^n$ 不存在。

总结

极限拆分需谨慎处理，需先判断各部分极限是否存在，避免因无穷小、无穷大或不同趋近速度导致错误。当拆分不满足条件时，应采用洛必达法则、泰勒展开等替代方法。