判断函数凹凸性主要有以下两种方法：几何定义法和二阶导数判别法。以下是具体分析：

一、几何定义法

直观判断

在函数图像上取任意两点$A（x_1, f（x_1））$和$B（x_2, f（x_2））$，若连接这两点的线段总位于函数曲线的下方，则函数在该区间内为 凹函数 ；反之，若线段位于曲线上方，则为 凸函数 。

严格凹凸性

若对区间内任意两点$x_1$和$x_2$，以及任意$lambda in （0,1）$，都有：

$$

f(lambda x_1 + (1-lambda)x_2) > lambda f(x_1) + (1-lambda)f(x_2)

$$

则函数为 严格凹函数 ；若严格不等式成立，则为 严格凸函数 。

二、二阶导数判别法

充分条件

若函数$f（x）$在区间$I$上二阶可导，则：

$f''（x） > 0$时，函数为 凹函数 （图像下凸）；

$f''（x） < 0$时，函数为 凸函数 （图像上凸）。

拐点判定

若$f''（x） = 0$或$f''（x）$不存在，且在该点两侧二阶导数异号，则该点为 拐点 ，函数凹凸性在此点发生改变。

三、补充说明

严格性验证 ：几何定义法需验证严格不等式，而二阶导数法通过导数符号变化自动处理严格性。

应用场景 ：二阶导数法更适用于复杂函数的分析，几何定义法多用于直观判断。

通过以上方法，可系统判断函数凹凸性及其变化点。