问问题描述
什么是stolz定理，拜谢！求解答这个难题！
答精选答案
首先, Stolz定理分母不单调的话确实是有反例的. 取a[n] = n, b[n] = n+(-1)^n·√n. 则易见n → ∞时, b[n] → +∞, 同时(a[n+1]-a[n])/(b[n+1]-b[n]) → 0. 然而a[n]/b[n] → 1 ≠ 0. 其次, L'Hospital法则其实隐含了单调性的条件. 因为其要求g'(x)在极限点的某邻域内不得0, 但导函数具有介值性(Darboux定理), 因此g'(x)在极限点的某邻域内恒正或恒负, 即得g(x)单调. 所以这两个定理在这方面仍然是一致的.
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donghuadaxue
2026-10-06 00:18:07
首先, Stolz定理分母不单调的话确实是有反例的. 取a[n] = n, b[n] = n+(-1)^n·√n. 则易见n → ∞时, b[n] → +∞, 同时(a[n+1]-a[n])/(b[n+1]-b[n]) → 0. 然而a[n]/b[n] → 1 ≠ 0. 其次, L'Hospital法则其实隐含了单调性的条件. 因为其要求g'(x)在极限点的某邻域内不得0, 但导函数具有介值性(Darboux定理), 因此g'(x)在极限点的某邻域内恒正或恒负, 即得g(x)单调. 所以这两个定理在这方面仍然是一致的.
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本文概览：首先, Stolz定理分母不单调的话确实是有反例的. 取a[n] = n, b[n] = n+(-1)^n·√n. 则易见n → ∞时, b[n] → +∞, 同时(a[n+1]-a[n])/(b[n+1]-b[n]) → 0. 然而a[n]/b[n] → 1 ≠ 0. 其次, L'Hospital法则其实隐含了单调性的条件. 因为其要求g'(x)在极限点的某邻域内不得0, 但导函数具有介值性(Darboux定理), 因此g'(x)在极限点的某邻域内恒正或恒负, 即得g(x)单调. 所以这两个定理在这方面