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逆矩阵设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E。
则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。基本信息中文名逆矩阵别名非奇异矩阵满秩矩阵外文名inverse matrix定义一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得并称B是A的一个逆矩阵。不可逆的矩阵称为奇异矩阵。A的逆矩阵记作A。定理验证两个矩阵互为逆矩阵按照矩阵的乘法满足：故A，B互为逆矩阵。逆矩阵的唯一性若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。证明：若B,C都是A的逆矩阵，则有所以，即A的逆矩阵是唯一的。判定简单的矩阵不可逆如假设有是A的逆矩阵，则有比较其右下方一项：。若矩阵A可逆，则若A可逆，即有，使得，故计算若，则矩阵A可逆，且其中，A为矩阵A的伴随矩阵。性质1、可逆矩阵一定是方阵。
2、（唯一性）如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作。
4、可逆矩阵A的转置矩阵A也可逆，并且(转置的逆等于逆的转置）5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即，则，则。
6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。证明1、逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。设B与C都为A的逆矩阵，则有2、假设B和C均是A的逆矩阵，，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。
3、由逆矩阵的唯一性，A的逆矩阵可写作（A）和A，因此相等。AB=AC4、矩阵A可逆，有。由可逆矩阵的定义可知，A可逆，其逆矩阵为（A）。而（A）也是A的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此。
5、1）在两端同时左乘A（BA=O同理可证），得，故）由（同理可证），，等式两边同左乘A，因A可逆。得，即。可逆的等价条件1、齐次方程方程组仅有零解。
2、A行等价与单位矩阵I3、A可写成若干个初等矩阵之积。
4、是（当时，A称为奇异矩阵），利用这个方法，来判定一个矩阵是否可逆更加方便。证明必要性：当矩阵A可逆，则有。（其中I是单位矩阵）两边取行列式，由行列式的性质：则，（若等于0则上式等于0）充分性：有伴随矩阵的定理，有（其中是的伴随矩阵。）当，等式同除以，变成比较逆矩阵的定义式，可知逆矩阵存在且逆矩阵求法求逆矩阵的初等变换法将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵
答其他回答（3条）
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yingtanzhiyejishuxueyuan
2026-10-06 04:53:43
逆矩阵（inverse matrix），又称乘法反方阵、反矩阵。广义逆阵（Generalized inverse）又称伪逆，是对逆阵的推广。一般所说的伪逆是指摩尔－彭若斯广义逆，它是由E. H. Moore和Roger Penrose分别独立提出的。伪逆在求解线性最小二乘问题中有重要应用。
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yingtanzhiyejishuxueyuan
2026-10-06 04:53:43
设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵。
扩展资料
定理：
（1）逆矩阵的'唯一性。
若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，并记作A的逆矩阵为A-1。
（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是r(A)=m。
对n阶方阵A,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵或非奇异矩阵。
（3）任何一个满秩矩阵都能通过有限次初等行变换化为单位矩阵。
推论：满秩矩阵A的逆矩阵A可以表示成有限个初等矩阵的乘积。
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yingtanzhiyejishuxueyuan
2026-10-06 04:53:43
设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。逆矩阵，或可逆是线性代数中最重要的内容。
1、下列命题等价：1）A为n阶可逆矩阵2）A是非奇异的。
3）A是满秩的。
4）A是行满秩的。
5）A是列满秩的。
6）方程组AX=0仅有零解7）方程组AX=B仅有唯一解。
8）A的行向量组线性无关。
9）A的列向量组线性无关。
10）A的任何特征值均非零。
2、可逆的重要性体现在：AB=C 表示B线性变换到 C， B与C是等价矩阵。同秩，同可逆或不可逆。是以B的列向量与C的列向量为基构成的向量空间为相同的空间。扩展资料逆矩阵性质定理可逆矩阵一定是方阵。如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。两个可逆矩阵的乘积依然可逆。矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
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希望本篇文章《什么是逆矩阵》能对你有所帮助！
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本文概览：逆矩阵设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E。则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。基本信息中文名逆矩阵别名非奇异矩阵满秩矩阵外文名inverse matrix定义一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得并称B是A的一个逆矩阵。不可逆的矩阵称为奇异矩阵。A的逆矩阵记作A。定理验证两个矩阵互为逆矩阵按照矩阵的乘法满足：故A，B互为逆矩阵。逆矩阵的唯一性若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。证明：若B,C都是A