问问题描述
怎么证明根号5是无理数，拜谢！求解答这个难题！
答精选答案
利用反证法。
首先要搞清楚什么是无理数。 实数分为两类，有理数和无理数。 有理数是能化成两个非零整数比的实数，能用分数形式表示。而无理数是不能化为不能用分数形式表示的。 要证明根号5是无理数，只要证明根号5不能用分数形式表示。假设√5是有理数,令√5=p/q,其中p,q是整数且最大公约数是1,p、q是有理数.p=√5q,两边平方得p²=5q²,于是p²是5的倍数.所以p也是5的倍数. 设p=5s,s是整数,则25s²=5q²,即q²=5s²,同样得到q是5的倍数. 这样,p,q都是5的倍数，一定有公约数5,这与p,q最大公约数是1矛盾,因此√5不是有理数,即√5是无理数.
答其他回答（1条）
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jilindianzixinxizhiyejish
2026-10-05 23:21:40
通俗地说，无理数是不能化为分数的数， 严格地说，无理数就是不能写成两个整数比的数。 用反证法证明√5是无理数。 设√5不是无理数而是有理数，则设√5=p/q(p,q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1) 两边平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*) p^2含有因数5，设p=5m 代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2 q^2含有因数5，即q有因数5 这样p,q有公因数5， 这与假设p,q最大公约数为1矛盾， √5=p/q(p,q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)不成立， √5不是有理数而是无理数。
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本文概览：利用反证法。首先要搞清楚什么是无理数。 实数分为两类，有理数和无理数。 有理数是能化成两个非零整数比的实数，能用分数形式表示。而无理数是不能化为不能用分数形式表示的。 要证明根号5是无理数，只要证明根号5不能用分数形式表示。假设√5是有理数,令√5=p/q,其中p,q是整数且最大公约数是1,p、q是有理数.p=√5q,两边平方得p²=5q²,于是p²是5的倍数.所以p也是5的倍数. 设p=5s,s是整数,则25s²=5q²,即q²=5s²,同样得到q是5的倍数. 这样,p,q都是5的倍数，一定有公约数5,