学生请老师吃饭时，可以表达感谢、分享学习情况、增进师生关系等。以下是一些建议的请老师吃饭的表达方式：

感谢与认可 ：

"老师，您好!非常感谢您这段时间以来对我的教导和帮助，我的成绩有了明显的提高。我想借此机会请您吃顿饭，表达我的感激之情。"

"老师，您好!非常感谢您对我的关心和教导，没有您的帮助我不可能取得现在的成绩。我想请您吃顿饭，感谢您的一切付出。"

邀请与安排 ：

"老师，您好!我一直想找机会请您吃饭，不知道您是否方便？如果方便的话，能否告诉我您喜欢的餐厅或者时间，我来安排。"

"老师，您好!不知道您最近是否有空？我想请您一起吃个饭，聊聊天。如果您有空的话，能否告诉我您方便的时间和地点？"

学习与探讨 ：

"老师，您好!您本学期教了我们很多课程，您的教学方法非常生动有趣。我想和您共进午餐，探讨一下学习中的问题，希望得到您的指导。"

"老师，您好!我想请教您一些学习上的问题，不知道您是否方便在吃饭时讨论一下？"

关心与祝福 ：

"老师，您好!希望您工作顺利，万事如意。如果有机会，希望能在您方便的时候请您吃顿饭，表达我的敬意和感激。"

"老师，您好!祝您身体健康，退休生活愉快。如果有机会，希望能在您方便的时候请您吃顿饭，回忆一下美好的时光。"

家庭聚会 ：

"老师，您好!今天我们全家人非常荣幸能请您一起吃饭，感谢您对孩子的谆谆教诲。希望您能享受这次家庭聚会。"

通过以上表达方式，学生可以真诚地表达对老师的感激之情，同时增进师生关系，为未来的学习生活打下良好的基础。