数学系博士生的研究方向非常广泛，涵盖了纯数学和应用数学的各个领域。以下是一些常见的数学博士研究方向：

代数几何：

研究高维空间中的点、线和曲线的性质，以及它们之间的相互关系。这个领域涉及到许多抽象的概念和技巧，如环论、域论和同调代数等。

拓扑学：

研究空间的性质，特别是它们的形状和结构。拓扑学家关注的问题包括连通性、紧致性和同胚等。

微分几何：

研究曲线、曲面和更高维度空间上的点的性质，以及它们之间的相互关系。微分几何与物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。

概率论与统计学：

研究随机现象的规律性和不确定性。概率论与统计学在金融、保险、生物信息学和数据科学等领域有着广泛的应用。

数值分析：

研究如何用计算机求解数学问题，特别是那些不能用解析方法解决的问题。数值分析在计算机图形学、计算流体动力学和量子计算等领域有着重要的应用。

优化理论：

研究如何找到最优解或近似最优解，以解决实际问题。优化理论在运筹学、机器学习和人工智能等领域有着广泛的应用。

控制理论：

研究如何设计控制器来实现对系统的稳定和优化控制。控制理论在航空航天、机器人技术和自动驾驶等领域有着重要的应用。

此外，数学博士生的研究还可能包括以下领域：

数论

代数

几何

分析

方程

概率

数学物理

统计

数学建模

科学计算

具体的研究方向会根据个人的兴趣和导师的研究领域而有所不同。建议在选择研究方向时，结合自己的兴趣和长期职业规划，同时咨询导师的意见，以确保所选方向既符合自己的发展需求，又有较好的研究前景。