数学中，组合数 $C（n, k）$ 表示从 $n$ 个不同元素中选取 $k$ 个元素的不同组合数，其计算公式为：

$$C(n, k) = frac{n!}{k!(n-k)!}$$

其中：

$n!$ 表示 $n$ 的阶乘，即 $n times （n-1） times （n-2） times cdots times 1$；

$k!$ 表示 $k$ 的阶乘；

$（n-k）!$ 表示 $n-k$ 的阶乘。

示例计算

计算 $C（12, 3）$：

$$C(12, 3) = frac{12!}{3!(12-3)!} = frac{12 times 11 times 10}{3 times 2 times 1} = 220$$

其他计算方法

递推公式 （杨辉三角）：

$$C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)$$

适用于 $n$ 和 $k$ 较小时使用。

乘法逆元 （适用于大数且模数为素数时）：

$$C(n, k) mod p = frac{n times (n-1) times cdots times (n-k+1)}{k times (k-1) times cdots times 1} mod p$$

其中 $p$ 为素数，逆元通过扩展欧几里得算法求得。

Lucas定理 （适用于大数且模数为素数时）：

$$C(n, k) mod p = prod_{i=0}^{k} C(n_i, k_i) mod p$$

其中 $n_i$ 和 $k_i$ 分别是 $n$ 和 $k$ 在 $p$ 进制下的各位数字。

注意事项

组合数与排列数不同，排列数公式为 $A（n, k） = frac{n!}{（n-k）!}$，当需要考虑元素顺序时使用；

计算时需注意数值溢出，建议使用编程语言中的大数库。

通过以上方法，可以高效计算组合数，满足不同场景的需求。