求基础解系的方法如下：

通过初等行变换化简矩阵 ：

将系数矩阵 $A$ 通过初等行变换化为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵。行阶梯形矩阵的特点是每一行的第一个非零元素（称为主元）都位于其所在行的最左侧，且该列其他元素均为零。行最简形矩阵除了具有行阶梯形矩阵的特点外，还要求每个主元所在列的其他元素都为零，并且主元所在列之上的元素都为零。

确定自由变量 ：

在行最简形矩阵中，非零行的数量即为矩阵的秩 $r$。自由变量的数量等于未知数的总数 $n$ 减去矩阵的秩 $r$，即 $n - r$。自由变量是那些在方程组中作为自由项存在的变量。

设定自由变量的值 ：

选取 $n - r$ 组数值，分别赋给自由变量。例如，如果有两个自由变量，可以分别取值为 $[1, 0, ldots, 0]$ 和 $[0, 1, ldots, 0]$。

代入求解 ：

将设定的自由变量值代入化简后的方程组，求解得到对应的解向量。这些解向量就是基础解系的解向量。

验证解向量 ：

验证所求得的解向量是否满足原方程组的所有方程，确保它们是线性无关的，并且能生成整个解空间。

示例

假设有一个线性方程组 $AX = b$，其系数矩阵 $A$ 为：

$$

A = begin{pmatrix}

1 & 2 & 3

4 & 5 & 6

7 & 8 & 9

end{pmatrix}

$$

对 $A$ 进行初等行变换：

$$

begin{pmatrix}

1 & 2 & 3

4 & 5 & 6

7 & 8 & 9

end{pmatrix}

xrightarrow{R_2 - 4R_1, R_3 - 7R_1}

begin{pmatrix}

1 & 2 & 3

0 & -3 & -6

0 & -6 & -12

end{pmatrix}

xrightarrow{R_3 - 2R_2}

begin{pmatrix}

1 & 2 & 3

0 & -3 & -6

0 & 0 & 0

end{pmatrix}

$$

确定自由变量：

矩阵的秩 $r（A） = 2$，因此有 $n - r = 3 - 2 = 1$ 个自由变量。

设定自由变量的值：

设自由变量 $x_3 = 1$，则可以得到两个方程：

$$

begin{cases}

x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1

-3x_2 - 6x_3 = 0

end{cases}

$$

代入求解：

从第二个方程解得 $x_2 = -2x_3 = -2$，代入第一个方程得 $x_1 = 1 - 2（-2） - 3（1） = 0$。

因此，一个基础解系为 $[0, -2, 1]^T$。

通过以上步骤，我们可以求得基础解系。这个方法适用于任何线性方程组，无论其系数矩阵的阶数如何。