求基础解系的步骤如下：

确定自由未知量 ：

首先，确定线性方程组中自由未知量的个数。这可以通过计算系数矩阵的秩 $r$ 来实现，自由未知量的个数等于未知量总数 $n$ 减去矩阵的秩 $n - r$。

将矩阵化为行最简形 ：

对系数矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形矩阵。这样可以使方程组更容易求解，并确定自由未知量的具体形式。

求解同解方程组 ：

将行最简形矩阵中的自由未知量分别取不同的值（通常为 $n-r$ 组数），代入方程组，得到一组基础解系。

验证基础解系 ：

验证所求得的解向量是否满足基础解系的三个条件：

所有解向量均是方程组的解。

解向量线性无关。

方程组的任意解均可由基础解系线性表出。

示例

假设我们有一个线性方程组 $AX = b$，其系数矩阵 $A$ 为：

$$

A = begin{pmatrix}

1 & 2 & 3

4 & 5 & 6

7 & 8 & 9

end{pmatrix}

$$

确定自由未知量 ：

计算矩阵 $A$ 的秩 $r（A）$，通过初等行变换将其化为行最简形矩阵。

化为行最简形 ：

对 $A$ 进行初等行变换：

$$

begin{pmatrix}

1 & 2 & 3

4 & 5 & 6

7 & 8 & 9

end{pmatrix}

rightarrow

begin{pmatrix}

1 & 2 & 3

0 & -3 & -6

0 & 0 & 0

end{pmatrix}

rightarrow

begin{pmatrix}

1 & 2 & 3

0 & 1 & 2

0 & 0 & 0

end{pmatrix}

$$

可以看出，矩阵 $A$ 的秩 $r（A） = 2$，因此自由未知量的个数为 $n - r（A） = 3 - 2 = 1$。

求解同解方程组 ：

令自由未知量 $x_3 = t$，代入行最简形矩阵对应的同解方程组：

$$

begin{cases}

x_1 + 2x_2 + 3t = 0

x_2 + 2t = 0

end{cases}

$$

解得：

$$

begin{cases}

x_1 = -2t

x_2 = -2t

x_3 = t

end{cases}

$$

取 $t = 1$，得到一个基础解系向量 $begin{pmatrix} -2 -2 1 end{pmatrix}$。

验证基础解系 ：

验证 $begin{pmatrix} -2 -2 1 end{pmatrix}$ 是否满足基础解系的三个条件，可以发现它满足所有条件。

通过以上步骤，我们得到了基础解系 $begin{pmatrix} -2 -2 1 end{pmatrix}$。