求等比数列的首项 $a_1$ 和公比 $q$ 的方法如下：

已知条件

如果已知等比数列的前几项 $a_1, a_2, a_3, ldots$，可以通过相邻两项的比值来求出公比 $q$。

公式：$q = frac{a_{n+1}}{a_n}$。

已知条件

如果已知等比数列的某一项 $a_n$ 和公比 $q$，可以通过通项公式 $a_n = a_1 cdot q^{（n-1）}$ 来求出首项 $a_1$。

公式：$a_1 = frac{a_n}{q^{（n-1）}}$。

已知条件

如果已知等比数列的前 $n$ 项和 $S_n$ 和公比 $q$（$q neq 1$），可以通过前 $n$ 项和公式 $S_n = a_1 cdot frac{1 - q^n}{1 - q}$ 来求出首项 $a_1$。

公式：$a_1 = frac{S_n cdot （1 - q）}{1 - q^n}$。

已知条件

如果已知等比数列的某些特定项之间的关系，例如 $a_m cdot a_n = a_p cdot a_q$，可以利用这个性质来求出 $a_1$ 和 $q$。

公式：$a_1 cdot a_n = a_1 cdot q^{（n-1）} cdot a_1 cdot q^{（m-1）} = a_1^2 cdot q^{（m+n-2）}$，通过比较系数可以求出 $a_1$ 和 $q$。

示例

假设已知等比数列的第二项 $a_2 = 15$ 和第四项 $a_4 = 64$，求首项 $a_1$ 和公比 $q$。

求公比 $q$

$q = frac{a_4}{a_2} = frac{64}{15}$。

求首项 $a_1$

使用通项公式 $a_n = a_1 cdot q^{（n-1）}$，当 $n = 2$ 时，$a_2 = a_1 cdot q$。

$15 = a_1 cdot left（frac{64}{15}right）$。

解得：$a_1 = frac{15^2}{64} = frac{225}{64}$。

通过以上步骤，我们求出了首项 $a_1 = frac{225}{64}$ 和公比 $q = frac{64}{15}$。