基础解系是线性方程组解空间的一组基，它由线性无关的解向量构成，能够表示方程组的所有解。以下是求解基础解系的一般步骤：

将系数矩阵标准化为行最简形式（Reduced Row Echelon Form, RREF）

通过初等行变换，将系数矩阵化为行最简形式，确定主元列和自由变量列。

确定自由变量

自由变量是那些在行最简形式中对应的列没有主元的变量。自由变量的个数等于未知数的总数减去系数矩阵的秩。

构建基础解系

对于每个自由变量，构建一个线性关系表达式，使得该自由变量等于一个非零系数的线性组合。

将每一个自由变量的线性关系表达式与主元列合成为n个线性表达式，这n个表达式即为基础解系。

验证基础解系的线性独立性

验证基础解系中的向量是否线性无关。如果满足线性独立性，则基础解系就是解空间的一组基。

求解基础解系

将自由变量分别取值为（n-r）组数，例如[1,0,...,0]、[0,1,...,0]、...、[0,1,0,...,0]，然后将这些值代入到基础解系的线性关系表达式中，求出约束变量的值，从而得到基础解系。

特殊情况

对于齐次线性方程组，基础解系中的向量个数等于自由变量的个数。

对于非齐次线性方程组，基础解系中的向量个数也等于自由变量的个数，但需要满足系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且都小于未知数的个数。

通过以上步骤，可以求解出线性方程组的基础解系。需要注意的是，基础解系不是唯一的，因为自由变量的取值方式可以有所不同，但不同的基础解系之间必定存在某种线性关系。