证明函数的单调性主要有以下几种方法：

定义法

任取$x_1, x_2 in D$，且$x_1 < x_2$。

计算$f（x_1） - f（x_2）$，并通过变形（如因式分解、配方等）判断其符号。

如果$f（x_1） - f（x_2） > 0$，则$f（x）$在区间$D$内为增函数；如果$f（x_1） - f（x_2） < 0$，则$f（x）$在区间$D$内为减函数。

导数法

设函数$y = f（x）$在某区间$D$内可导。

如果$f'（x） > 0$，则$f（x）$在区间$D$内为增函数；如果$f'（x） < 0$，则$f（x）$在区间$D$内为减函数。

如果$f'（x） = 0$的$x$值只有有限个，则可以在这些点将区间分成若干子区间，并在每个子区间内分别证明导数的符号，从而确定函数的单调性。

图象法

通过绘制函数的图像，观察函数值随自变量变化的趋势，从而判断函数的单调性。

这种方法直观但不够严谨，通常用于初步判断或辅助理解。

复合函数的单调性

如果$y = f（u）$和$u = g（x）$，则复合函数$y = f[g（x）]$的单调性可以通过$f（x）$和$g（x）$的单调性来判断。

如果$f（x）$和$g（x）$的单调性相同，则复合函数为增函数；如果单调性相反，则复合函数为减函数。

特殊函数的单调性

对于一些特殊形式的函数（如一次函数、二次函数、反比例函数等），可以直接利用其性质判断其单调性。

建议

对于初学者，建议从定义法入手，逐步掌握导数法和复合函数的单调性判断方法。

在实际应用中，可以根据函数的具体形式选择合适的方法进行证明。

多做练习，通过不断的实践来巩固和提高证明函数单调性的能力。