求初等函数的极限通常有以下几种方法：

直接代入法

如果函数在某点连续，则直接将x值代入函数求极限。

趋近无穷小量法

当x趋近于某一点时，如果x是无穷小量，则函数在该点的极限等于x趋近的极限。

洛必达法则

当极限形式为0/0或∞/∞时，可以对分子分母同时求导，再求极限。

泰勒展开法

对于复杂的函数，可以通过泰勒展开将其表示为多项式之和，然后选取适当的x值求极限。

夹逼定理

通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限。

利用函数的连续性

如果函数在定义域内的某点连续，则该点的极限就是函数在该点的函数值。

有理化分子或分母

对于含有根号或分母为0的情况，可以通过有理化变换简化表达式。

利用两个重要极限

如`lim（x→0） sin（x）/x = 1`和`lim（x→∞） （x+1）/x = 1`等。

无穷小的性质

如有界函数与无穷小的乘积是无穷小，常数与无穷小的乘积也是无穷小。

变元代换法

通过变量代换将复杂的极限问题转化为简单的形式。

同除变量的最高次幂

当自变量x趋向无穷大时，可以尝试分子分母同除以x的最高次幂，将无穷大问题转化为无穷小问题。

等价替换法

对于乘除关系的式子，可以使用等价无穷小替换简化计算。

放缩法（夹逼定理）

对函数进行一定的扩大和缩小，使扩大和缩小后的函数极限容易求得。

以上方法可以单独使用，也可以结合使用，具体取决于所求极限的形式和函数的特点。在实际操作中，选择最合适的方法可以更快捷地求得极限值