求带根号的极限通常有以下几种方法：

直接代入法

如果极限的形式允许，可以直接将变量代入表达式中计算极限。

分子分母有理化

当根号在分子或分母上时，可以通过乘以共轭表达式来有理化分母或分子，从而简化极限的计算。

例如，对于极限 `lim （sqrt（x + 1） - 1） / x` 当 `x -> 0`，可以通过乘以共轭表达式来有理化分母：

lim （sqrt（x + 1） - 1） / x = lim [（sqrt（x + 1） - 1） / x] * [（sqrt（x + 1） + 1） / （sqrt（x + 1） + 1）]

= lim [（x + 1） - 1] / [x * （sqrt（x + 1） + 1）]

= lim x / [x * （sqrt（x + 1） + 1）]

= lim 1 / （sqrt（x + 1） + 1）

= 1 / （sqrt（0 + 1） + 1）

= 1 / 2

```

利用重要极限

对于形如 `lim （1 + 1/n）^n` 当 `n -> ∞` 的极限，其值为 `e`，这是自然对数的底数。

洛必达法则

当极限的形式为 `0/0` 或 `∞/∞` 时，可以使用洛必达法则，即对分子和分母同时求导，再计算极限。

泰勒级数展开

对于一些复杂的函数，可以通过泰勒级数展开来近似计算极限。

等价无穷小替换

在求极限时，有时可以将一些复杂的表达式替换为它们在极限点附近的等价无穷小表达式，从而简化计算。

因式分解

对于某些特定的表达式，可以通过因式分解来简化极限的计算。

归纳法或数学归纳法

对于某些数列的极限，可以通过归纳法或数学归纳法来证明极限的存在性和值。

选择合适的方法取决于具体的极限表达式和所给条件。在实际操作中，可能需要结合多种方法来求解一个极限问题