定积分的定理主要包括：

原函数存在定理

如果函数 （ f（x） ） 在区间 （ I ） 上连续，则存在可导函数 （ F（x） ），使得 （ F'（x） = f（x） ）。

定积分的充分条件

如果 （ f（x） ） 在区间 （ [a,b] ） 上连续，则 （ f（x） ） 在区间 （ [a,b] ） 上可积。

如果 （ f（x） ） 在区间 （ [a,b] ） 上有界且只有有限个间断点，则 （ f（x） ） 在区间 （ [a,b] ） 上可积。

如果 （ f（x） ） 在区间 （ [a,b] ） 上单调，则 （ f（x） ） 在区间 （ [a,b] ） 上可积。

定积分的重要性质

如果 （ f（x） geq 0 ） 在区间 （ [a,b] ） 上，则 （ int_{a}^{b} f（x） , dx geq 0 ）。

如果 （ f（x） leq g（x） ） 在区间 （ [a,b] ） 上，则 （ int_{a}^{b} f（x） , dx leq int_{a}^{b} g（x） , dx ）。

（ | int_{a}^{b} f（x） , dx | leq int_{a}^{b} | f（x） | , dx ）。

如果 （ M ） 和 （ m ） 分别是 （ f（x） ） 在区间 （ [a,b] ） 上的最大值和最小值，则 （ m（b-a） leq int_{a}^{b} f（x） , dx leq M（b-a） ）。

积分中值定理：如果 （ f（x） ） 在区间 （ [a,b] ） 上连续，则至少存在一点 （ xi in [a,b] ） 使得 （ int_{a}^{b} f（x） , dx = f（xi）（b-a） ）。

牛顿-莱布尼茨公式

如果 （ f（x） ） 是区间 （ [a,b] ） 上的连续函数，并且 （ F'（x） = f（x） ），则 （ int_{a}^{b} f（x） , dx = F（b） - F（a） ）。

定积分的可加性

如果积分区间 （ [a,b] ） 被 （ c ） 分为两个子区间 （ [a,c] ） 和 （ [c,b] ），则 （ int_{a}^{b} f（x） , dx = int_{a}^{c} f（x） , dx + int_{c}^{b} f（x） , dx ）。

积分上限函数的性质

如果 （ f（x） ） 在区间 （ [a,b] ） 上连续，则积分上限函数 （ varphi（x） = int_{a}^{x} f（t） , dt ） 在区间 （ [a,b] ） 上具有导数，且 （ varphi'（x） = f（x） ）。

积分极限定理

包括有界收敛定理、Fatou 引理、单调收敛定理和受控收敛定理。

这些定理构成了定积分理论的基础，并在微积分学及其在自然科学和工程学中的应用中起着核心作用。