韩国留学申请绿卡的方式如下：

投资取得永久居住权

投资50万美元以上到韩国国内，可以获得永久居住权。

投资5亿韩币购买休养居留设施（如饭店等），也可以获得相当于投资移民的资格，拿到韩国国籍绿卡，且不需要考试。

居住和贡献

在韩国居住5年以上，并且通过对国内产业的投资达到法务部长官规定的金额以上，同时通过企业活动对国内就业方面做出贡献的外国人及其未满20岁的子女，可以获得永久居住权。

婚姻

与韩国人结婚满三年，或者婚后育有子女，可以获得绿卡及加入韩国国籍。具体条件可能有所不同，例如，中国籍女性和韩国人结婚满三年且女方存折有超过3000万韩币，有实体公司并有房子，可以通过申请为男方获得韩国国籍。

工作签证

持有正规居住工作签证，在韩国工作时间超过5年，可以申请韩国永久居住权。

亲属关系

有直系亲属在韩国拥有韩国绿卡者，通过入国籍考试后，可以获得绿卡及加入韩国国籍。隔代亲属（如外公外婆、爷爷奶奶）出生在韩国或者是韩国人，也必须通过入国籍考试和血缘关系的化验。

建议

投资移民：如果有充足的资金，投资50万美元以上到韩国，是一个直接获得绿卡的方法。

婚姻：通过婚姻获得绿卡需要满足一定的居住时间和条件，例如结婚满三年且有足够的经济实力。

工作签证：长期在韩国工作并贡献，也是一个可行的途径。

亲属关系：如果有亲属已经拥有绿卡，可以通过入国籍考试获得绿卡和韩国国籍。

根据自身情况选择最适合自己的申请方式，并提前了解相关法规和所需材料，以确保申请过程的顺利进行。