对积分求导的规则主要分为两类： 常数积分 和 变限积分 。

一、常数积分的导数

当积分上下限为常数时，积分结果为常数，其导数为零。即：

$$

left( int_{a}^{c} f(x) , dx right)' = 0 quad text{（其中 } a, c text{ 为常数）}

$$

解释 ：常数的导数为零，因为常数不随自变量变化。

二、变限积分的导数

当积分上下限为变量时，需使用 Leibniz积分法则 。设积分函数为：

$$

F(x) = int_{a(x)}^{b(x)} f(t, x) , dt

$$

其导数为：

$$

F'(x) = f(b(x), x) cdot b'(x) - f(a(x), x) cdot a'(x) + int_{a(x)}^{b(x)} frac{partial f(t, x)}{partial x} , dt

$$

分步说明 ：

基本公式 ：将积分上下限代入被积函数，再乘以对应上限和下限的导数；

含参变量 ：若被积函数同时依赖积分变量和上限变量（如 $f（t, x）$），需额外计算偏导数。

三、特殊说明

积分上限或下限为常数 ：若仅上限或下限为变量（如 $int_{a（x）}^{c} f（t） , dt$），则导数简化为：

$$

left( int_{a(x)}^{c} f(t) , dt right)' = f(c, x) cdot a'(x)

$$

被积函数含参数 ：需使用莱布尼茨积分法则中的偏导数项。

四、示例

计算 $left（ int_{x^2}^{x} t , dt right）'$：

识别积分上下限为变量 $x$ 的函数 $a（x） = x^2$ 和 $b（x） = x$；

应用Leibniz法则：

$$

left( int{x^2}^{x} t , dt right)' = t cdot 1 - t cdot 2x + int{x^2}^{x} 1 , dt = x - 2x^3 + (x - x^2) = -2x^3 + 2x - x^2

$$