根据搜索结果，单调变换的定义和性质如下：

一、单调变换的定义

单调变换是指在保持偏好次序不变的前提下，对效用函数进行数量化处理的方式。具体来说：

正单调变换 ：若$u（x_1, y_1） > u（x_2, y_2）$，则$f（u（x_1, y_1）） > f（u（x_2, y_2））$；

负单调变换 ：若$u（x_1, y_1） > u（x_2, y_2）$，则$f（u（x_1, y_1）） < f（u（x_2, y_2））$。

二、常见单调变换形式

线性变换 ：$f（u） = au + b$（如$f（u） = 3u$、$f（u） = u + 17$）；

非线性变换 ：$f（u） = u^3$、$f（u） = ln u$等。

三、关键性质

偏好保持性 ：若原效用函数$u$满足单调性，其单调变换$f（u）$仍保持相同的偏好次序；

可逆性 ：存在反函数，且反函数也满足单调性。

四、应用场景

在微观经济学中，单调变换主要用于：

预期效用理论 ：通过数值化效用函数，预测消费者在风险环境下的选择行为；

偏好排序 ：不同效用函数值仅代表偏好强度差异，不改变商品组合的排序。

总结

满足“保持偏好次序且单调变化”的函数均可视为单调变换，常见形式包括线性函数（如$3u$）和非线性函数（如$u^3$）。这些变换在经济学中用于量化偏好并预测决策行为。