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• anzhouminhangzhiyejishuxu 广州民航职业技术学院直属中国民用航空局，是民航内最早一所独立设置实施高等职业教育的全日制公办普 2026-10-06 00:12:07

  如果 $y =

  log_a x$，其中 $a$ 是一个正实数且 $x$ 是一个正实数，那么我们可以使用以下公式对 $y$ 进行求导：

  $

  frac{dy}{dx} =

  frac{1}{x

  ln a}$

  其中，$

  ln$ 表示自然对数（以 $e$ 为底数）。

  证明过程如下：

  我们可以将 $y =

  log_a x$ 转换为指数形式，即 $a^y = x$。

  然后，对上式两边同时求导：

  $$

  frac{d}{dx}(a^y) =

  frac{d}{dx}(x)$$

  应用链式法则，左侧变为：

  $$

  frac{d}{dx}(a^y) =

  frac{d}{dy}(a^y)

  cdot

  frac{dy}{dx} = a^y

  cdot

  frac{dy}{dx}$$

  右侧显然是 $1$，因此我们得到：

  $$a^y

  cdot

  frac{dy}{dx} = 1$$

  将 $a^y = x$ 代入上式，得到：

  $$x

  cdot

  frac{dy}{dx} = 1$$

  因此，

  $$

  frac{dy}{dx} =

  frac{1}{x}$$

  最后，由于 $y =

  log_a x$，我们可以将其转换为自然对数形式：

  $$y =

  frac{

  ln x}{

  ln a}$$

  对上式两边同时求导，得到：

  $$

  frac{dy}{dx} =

  frac{1}{x

  ln a}$$

  因此，如果要对 $y =

  log_a x$ 进行求导，只需将其转换为自然对数形式，然后应用上述公式即可。