数学柯西不等式证明

问题描述

精选答案

1. 构造二次函数

注意到柯西不等式是 A

geq B^2 的结构，这可以让我们联想到二次方程的判别式

Delta=b^2-4ac ，于是我们可以构造如下的二次函数：

left(

sum_{i=1}^{n}{a_i^2}

right)x^2+2

其他回答

金融小博士

柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。

巧拆常数证不等式

例：设a、b、c为正数且互不相等。

求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)

∵a、b、c均为正数

∴为证结论正确，只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又9=(1+1+1)^2

∴只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9

又a、b

c互不相等，故等号成立条件无法满足

∴原不等式成立

其他回答

会计伯伯

令A=a1²+a2²+……+an²,B=b1²+b2²+……+bn²,C=a1b1+a2b2+……+anbn

作函数f（x）=Ax²+2Cx+B

如果能证明函数f（x）恒大于等于0,即f（x）的判别式Δ≤0,就得到4C²≤4AB,即柯西不等式得证.

而f（x）=（a1²x²+2a1b1x+b1²）+（a2²x²+2a2b2x+b2²）+……+（an²x²+2anbnx+bn²）

=（a1x+b1）²+（a2x+b2）²+……+（anx+bn）²

≥0

取“=”的条件：a1=a2=……=an=0,或b1=b2=……=bn=0；

或存在常数x使aix+bi=0,i=1,2,……,n