什么是积分第一中值定理

积分第一中值定理是积分中值定理的推广之一，此外还有积分第二中值定理。积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值， 或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法。是数学分析的基本定理和重要手段， 在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。

设 为一连续函数， 为一正的可积函数，那么存在一点 使得

如果函数 在闭区间 上连续， 在 上不变号，并且 在闭区间 上是可积的，则在 上至少存在一个点 ，使下式成立：

。

事实上，可以证明，上述的中值点ξ必能在开区间(a,b)内取得，见下方中值点在开区间内存在的证明。

积分第一中值定理的证明

因为 是闭区间上的连续函数， 取得最大值 和最小值 。于是

。

对不等式求积分，我们有

。

若 ，则 。 可取 上任一点。

设 ，那么

。

因为 是连续函数，则必存在一点 ，使得

。

中值点在开区间内存在的证明

已知f(x)在上连续，设。

知F(x)在上连续，在内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：

，其中

即

所以

。