数学专业暑假可以学习的内容主要包括以下几个方面：

数学基础课程

数学分析：理解极限、连续、导数和积分等基本概念。参考教材包括《数学分析》（刘继志等编，北师大出版社）和《数学分析》（史济怀老师，中国科学技术大学出版社）。

高等代数（或线性代数）：学习向量空间、矩阵、线性变换等。参考教材包括《微积分学教程》（菲赫金哥尔茨著）。

解析几何：掌握点、线、面、圆锥曲线等几何对象的性质。

扩展知识

根据专业方向，可能还需学习计算机相关知识，如C语言、VMware、MySQL等。

提升英语能力

积累英语单词，为研究生入学考试做准备。

科研与竞赛准备

参与数学建模竞赛、数学竞赛等，提升解决问题的能力，为保研或研究生入学增加竞争力。

复习与巩固

复习大一或大二课程，特别是数学分析和高等代数，强化基础概念和定理的理解。可以利用在线平台如B站、中国大学MOOC等寻找相关课程进行自学。

了解考研信息

对于准备考研的同学，可以了解目标院校及相关报考专业的信息，如历年的分数线、考题、招生人数等，提前了解这些信息有助于在备考时更加得心应手。

保研准备

如果有可能获得保研资格，可以参加一些科研竞赛、本创项目等，为保研增添筹码。

综上所述，数学专业的学生在暑假期间可以系统地复习和巩固数学基础课程，同时也可以根据个人兴趣和未来职业规划选择扩展知识和提升英语能力。此外，参与科研竞赛和了解考研信息也是为未来学术和职业发展打下坚实基础的重要环节。