利用的立方差公式来推导a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。

所以：n³-(n-1)³=n²+n(n-1)+(n-1)²=3n²-3n+1。

则：

1³=3×1²-3×1+1。

2³-1³=3×2²-3×2+1。

n³-(n-1)³=n²+n(n-1)+(n-1)²=3n²-3n+1。

上述等式相加得到：n³=3×(1²+2²+3²+……+n²)-3×(1+2+3+……+n)+n。

==> n³=3∑n²-3×[n(n+1)/2]+n。

==> 3∑n²=n³+[3n(n+1)/2]-n=(2n³+3n²+3n-2n)/2。

==> 3∑n²=[n(2n²+3n+1)]/2=n(n+1)(2n+1)/2。

所以，∑n²=n(n+1)(2n+1)/6。

自然数是从1开始的整数，平方是一个数与自身相乘的运算。自然数的平方序列是一个特殊的数列，它的每一项都是自然数的平方。本文将推导自然数平方的前n项和的公式，即S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2。

一、推导思路：

我们可以通过数学归纳法来推导自然数平方的前n项和的公式。首先，我们观察前几项的平方序列，发现它们有一定的规律，然后假设前k项的和的公式成立，即S_k = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6，然后证明当n=k+1时，S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6。

二、证明过程：

1. 基础情况：

当n=1时，S_1 = 1^2 = 1，公式成立。

2. 归纳假设：

假设当n=k时，S_k = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6 成立。

3. 归纳步骤：

当n=k+1时，我们可以将S_n表示为前k项的和再加上第k+1项的平方，即S_n = S_k + (k+1)^2。

根据归纳假设，S_k = k(k+1)(2k+1)/6，代入上式得到：

S_n = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 = (k+1)[k(2k+1)/6 + (k+1)]。

我们可以对第一项进行因式分解，得到：

S_n = (k+1)[(2k^2+k)/6 + (k+1)] = (k+1)[(2k^2+k+6k+6)/6] = (k+1)(2k^2+7k+6)/6。

对第二项进行因式分解，得到：

S_n = (k+1)(2k^2+7k+6)/6 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6。