求根号下函数的导数，可以使用以下公式：

幂函数形式 ：

如果 $y = sqrt{f（x）}$，可以将其表示为 $y = f（x）^{frac{1}{2}}$。

根据幂函数求导法则，$y' = frac{1}{2} f（x）^{frac{1}{2} - 1} cdot f'（x）$。

进一步简化得到 $y' = frac{f'（x）}{2sqrt{f（x）}}$。

链式法则 ：

对于复合函数 $y = sqrt{g（x）}$，先对指数部分求导，再乘以底数的导数。

即 $y' = frac{1}{2} g（x）^{-frac{1}{2}} cdot g'（x）$。

进一步简化得到 $y' = frac{g'（x）}{2sqrt{g（x）}}$。

示例

求 $y = sqrt{x^2 + 1}$ 的导数 ：

令 $g（x） = x^2 + 1$，则 $y = sqrt{g（x）}$。

$g'（x） = 2x$。

根据公式 $y' = frac{g'（x）}{2sqrt{g（x）}}$，代入得到：

$$

y' = frac{2x}{2sqrt{x^2 + 1}} = frac{x}{sqrt{x^2 + 1}}

$$

求 $y = sqrt{（sinx）^2}$ 的导数 ：

令 $f（x） = （sinx）^2$，则 $y = sqrt{f（x）}$。

$f'（x） = 2 cdot sinx cdot cosx$。

根据公式 $y' = frac{f'（x）}{2sqrt{f（x）}}$，代入得到：

$$

y' = frac{2 cdot sinx cdot cosx}{2 cdot sinx} = cosx

$$

通过以上步骤，可以求出根号下函数的导数。关键在于将根号函数转化为幂函数形式，并应用幂函数求导法则和链式法则。