清政府在其统治期间，至少创办了 10所大学。这些大学包括：

1. 京师大学堂（北京大学前身）：成立于1898年7月3日，是中国近代第一所国立大学。

2. 北洋大学堂（天津大学前身）：成立于1895年，标志着中国近代教育的新篇章。

3. 清华学堂（清华大学前身）：成立于1911年，是清政府建立的留美预备学校，后更名为清华学校，1928年升格为国立清华大学。

4. 四川高等学堂（四川大学前身）：成立于1902年，由四川总督在1896年创办的西式学堂发展而来。

5. 山西大学：成立于1902年，与国立北京大学和国立北洋大学并称为中国最早的三所大学堂之一。

6. 东南大学：成立于庚子赔款后，利用赔款资金建立。

7. 辅仁大学：成立于1921年，是一所由罗马教廷管理的教会大学。

8. 武汉大学：其前身可追溯到1893年湖广总督张之洞创办的自强学堂。

9. 上海交通大学：其前身是1896年创建的南洋公学，是中国历史最悠久的高等学府之一。

10. 福建船政学堂：成立于1866年，是专门为福建船政培训人才的海军学院。

此外，清朝时期还有21所教会大学，其中17所是由基督教创设的。这些教会大学包括：

1. 齐鲁大学

2. 东吴大学

3. 之江大学

4. 圣约翰大学

5. 华西协和大学

6. 北京协和医学院

7. 沪江大学

8. 华南女子文理学院

9. 金陵大学

10. 岭南大学

11. 金陵女子文理学院

12. 燕京大学

13. 福建协和大学

14. 武昌文华图书馆专科学校

15. 华中大学

综上所述，清朝建立的大学数量至少为10所，如果包括教会大学，则共有31所。