证明函数单调性的方法主要有以下几种：

定义法 ：

步骤 ：

1. 任取 $x_1, x_2 \in D$，且 $x_1 < x_2$。

2. 计算 $f（x_1） - f（x_2）$。

3. 变形处理（如配方、因式分解）以确定 $f（x_1） - f（x_2）$ 的符号。

4. 根据符号判断函数的单调性：若 $f（x_1） - f（x_2） > 0$，则 $f（x）$ 在区间 $D$ 内单调递增；若 $f（x_1） - f（x_2） < 0$，则 $f（x）$ 在区间 $D$ 内单调递减。

导数法 ：

步骤 ：

1. 求函数 $f（x）$ 的导数 $f'（x）$。

2. 判断 $f'（x）$ 在区间 $D$ 内的符号：

若 $f'（x） > 0$，则 $f（x）$ 在区间 $D$ 内单调递增。

若 $f'（x） < 0$，则 $f（x）$ 在区间 $D$ 内单调递减。

图象法 ：

步骤 ：

1. 绘制函数 $f（x）$ 的图像。

2. 观察图像在区间 $D$ 内的上升或下降趋势：

上升趋势对应单调递增。

下降趋势对应单调递减。

复合函数法 ：

步骤 ：

1. 设 $y = f[g（x）]$，则 $y$ 的单调性由 $f（u）$ 和 $g（x）$ 共同决定。

2. 根据“同增异减”原则判断复合函数的单调性：

若 $f（u）$ 和 $g（x）$ 同向单调，则 $y = f[g（x）]$ 单调递增。

若 $f（u）$ 和 $g（x）$ 反向单调，则 $y = f[g（x）]$ 单调递减。

运算性质法 ：

步骤 ：

1. 利用已知函数的单调性进行判断：

两个增函数的和是增函数。

两个减函数的和是减函数。

增函数减去减函数为增函数，减函数减去增函数为减函数。

这些方法可以单独使用，也可以结合使用，以便更全面地分析和证明函数的单调性。选择哪种方法取决于具体问题的性质和已知条件。