向量的基本运算律包括：

加法运算律 ：

交换律：`a + b = b + a`

结合律：`（a + b） + c = a + （b + c）`

零元存在：`a + 0 = a`，其中`0`是零向量

减法运算律 ：

定义：`a - b = a + （-b）`

性质：如果`a`和`b`互为相反向量，则`a - b = 0`

数乘运算律 ：

结合律：`（λa） · b = λ（a · b） = a · （λb）`

分配律（第一）：`（λ + μ）a = λa + μa`

分配律（第二）：`λ（a + b） = λa + λb`

消去律：如果`λ ≠ 0`且`λa = λb`，则`a = b`；如果`a ≠ 0`且`λa = μa`，则`λ = μ`

数量积（点积）运算律 ：

交换律：`a · b = b · a`

分配律（第一）：`（λ + μ）a · b = λa · b + μa · b`

分配律（第二）：`λ（a · b） = λa · b + λb · a`

向量积（叉积）运算律 ：

反交换律：`a × b = -b × a`

分配律：`a × （b + c） = a × b + a × c`

线性性：`r（a × b） = （ra） × b = a × （rb）`，其中`r`是实数

雅可比恒等式：`a × （b × c） + b × （c × a） + c × （a × b） = 0`

以上是向量运算的基本定律，它们是向量运算的基础，并在解决向量问题时起着关键作用。需要注意的是，向量的运算不满足除法运算律