通俗的说法，线性相关是指：在“线性”的意义下，所考虑的一些元素有关系;线性无关是指没有关系。

在向量空间中，要讨论向量之间的关系，能且只能用加法与数乘这两个运算来实现，这两个运算体现了“线性”的含义。通过加法与数乘可以构造有限个向量的线性组合。如果一个向量不能由给定的有限个向量线性组合出来，这个向量和那些向量没有线性关系!如果一个向量组中的任何向量和其余的没有线性关系，就称这个向量组线性无关，否则线性相关。

直观上理解，线性相关的向量组中存在多余的向量，去掉它们不影响所考虑的问题。比如，在一个线性方程组中，如果一个方程(或其系数向量)是其余方程的线性组合，这个方程去掉得到同解的方程组。再比如，在一个向量组中，只需考虑极大无关组，它和原来的向量组是等价的。在一个有限维向量空间中，它的基很重要，基定了，整个空间中的向量就可以写成基的线性组合的形式，且由无关性，这种表达方式是唯一的。

相关定理是指：如果个数多的向量组可以由个数少的向量组线性表出，那么多的向量组必定线性相关。

这个结论的证明主要用到未知量个数多于方程个数的齐次线性方程组必有非零解。向量的个数等于未知量的个数，未知量越多，越有可能有非零解;向量分量的个数等于方程的个数，方程越多，越有可能无解。

一般地，线性相关性对应齐次线性方程组有非零解;线性无关性对应齐次线性方程组只有零解;一个向量表示为其它向量的线性组合对应于一般的线性方程组的求解问题。因此，线性相关、线性无关性的讨论，本质上就是线性方程组的解的讨论，这是同一个问题的两种表现形式。

任何无关向量组都可以扩充成整个空间的一组基。由此可以说明：向量空间V的任何子空间U都存在补子空间W，使得V写成U与W的直和。这时，也说向量空间总是可分解的。对其他的代数结构，一般没有这么好的结论。事实上，向量空间是一种非常简单的代数结构，单独对它的研究没有太大的意义，只是一种实验或练习，或者作为其它更复杂的代数结构的基础。

通过给定的基，每个基元素的倍数是一个1维子空间，整个空间可写成相应的1维子空间的直和。不难看出：一个向量组线性无关当且仅当由向量组中的向量确定的这些1维子空间成直和。由此可以定义向量空间的某些子空间的线性无关性：它们成直和。比如，不同特征值对应的特征子空间是线性无关的，因为它们成直和。即，属于不同特征值的特征向量线性无关。