问问题描述
为什么n阶方阵A是正交矩阵的充要条是A的行向量两两正交且为单位向量，蹲一个懂行的，求解答求解答！
答精选答案
内积就是a1*b1+a2*b2+a2*b2+.......。
设A为正交矩阵，由正交矩阵的定义知A（A^T）=E 。E中每一个0都是 A的某一行与（A^T）的某一列的内积，由矩阵转置的定义，那么E中每一个0都是A的某一行 （设为第β行）与第γ行（β不等于γ）的内积。所以第β行和第γ行是两两正交的，否则就不等于0了。而E中每个1都是A 的某一个行向量和这个行向量本身的内积，所以推出所有行向量都是单位向量（单位向量就是模为1的向量，也就是与自身的内积等于1）。ps：对于方阵来说，若AB=E,则BA=E=AB。
答其他回答（2条）
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没有选择也是一种选择
2026-09-30 08:33:55
n阶方阵A是正交矩阵的充要条件是A的行向量两两正交且为单位向量。这是因为正交矩阵的定义是其列向量两两正交且为单位向量，而行向量是列向量的转置。
因此，如果A的行向量两两正交且为单位向量，那么A的列向量也满足这个条件，从而A是正交矩阵。
反之，如果A是正交矩阵，那么其列向量两两正交且为单位向量，转置后即为行向量满足这个条件。
因此，行向量两两正交且为单位向量是A是正交矩阵的充要条件。
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依山观澜V
2026-09-30 08:33:55
A是正交矩阵
A^TA=E (定义)
A的行(列)向量两两正交且是单位向量 (定理)
将A按列分块为 A=(a1,...,an)
由 A^TA=E 得 ai^Taj = 1 (i=j) , 0 (i≠j)
所以列向量 ai 是单位向量, 且两两正交.
同理由 AA^T=E 可得A的行向量也是两两正交的单位向量.
a为正交矩阵
<=> a的列(或行)向量两两正交, 且长度为1
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评论列表（4条）
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本文概览：内积就是a1*b1+a2*b2+a2*b2+.......。设A为正交矩阵，由正交矩阵的定义知A（A^T）=E 。E中每一个0都是 A的某一行与（A^T）的某一列的内积，由矩阵转置的定义，那么E中每一个0都是A的某一行 （设为第β行）与第γ行（β不等于γ）的内积。所以第β行和第γ行是两两正交的，否则就不等于0了。而E中每个1都是A 的某一个行向量和这个行向量本身的内积，所以推出所有行向量都是单位向量（单位向量就是模为1的向量，也就是与自身的内积等于1）。ps：对于方阵来说，若AB=E,则BA=E=AB。