′ ( x ) = d d x ∫ ϕ ( x ) φ ( x ) f ( t ) d t = f [ φ ( x ) ] φ ′ ( x ) − f [ ϕ ( x ) ] ϕ ′ ( x )如果函数f ( x ) f(x) f(x)连续，ϕ ( x ) phi(x) ϕ(x) 和φ ( x ) varphi(x) φ(x)可导，那么变限积分函数的求导公式可表示为 Φ ′ ( x ) = d d x ∫ ϕ ( x ) φ ( x ) f ( t ) d t = f [ φ ( x ) ] φ ′ ( x ) − f [ ϕ ( x ) ] ϕ ′ ( x )。

变上限积分函数求导的原理变上限积分函数求导的原理就是微积分第一基本定理。如果被积函数 (f (x)) 在 ( [a,b]) 连续，那么变上限积分函数 (int_a^xf (t)dt) 在 ( [a,b]) 可导，且 (frac {int_a^xf (t)dt} {dx}=f (x))简单来说，就是变上限积分函数是被积函数的一个原函数，当然求导数后得到的是被积函数了。有些读者高中是理科生，学过定积分的初步内容，知道"牛顿-莱布尼兹公式"，也就是微积分第二基本定理。虽然从逻辑上讲，我们是用这个定理推得的"牛顿-莱布尼兹公式"，但是理解起来可以借用更熟悉的"牛顿-莱布尼兹公式"理解这个定理。该如何理解这个定义呢首先变上限积分函数建立在给定的连续函数f(x)上，那么它在一个区间定积分值仅和积分上限和积分下限有关。如果积分下限a固定了，那么对于每一个x作为函数的积分上限，都有一个对应的积分值，因而这就形成了一个函数关系。我们注意到被积函数的自变量换用了字母t，其实一个函数自变量用什么字母是无所谓的，换用字母是为了防止被积函数的变量和上限混同，t并不是真正的函数变量，只不过是形式上的一个记号。变上限积分函数参与运算的类型这里指的是待求导的函数有一部分是变上限积分函数，它参与了四则运算。这种情况下求导函数同一般的四则运算求导并没有什么区别，该怎么求就怎么求。疑难点无非在于不习惯出现变上限积分函数，习惯以后就不是问题了。自变量与积分变量不可分离型被积函数含有的自变量和积分变量的表达式不容易分离的情况，我们要考虑先进行变量代换，变成新积分变量和自变量可以分离的类型。