问问题描述
为什么行列式为1的正交矩阵的特征值为1，跪求万能的网友，帮帮我！
答精选答案
一个矩阵的特征值是它的特征多项式的根。
因此，我们可以通过特征值来求得行列式为1的正交矩阵的特征值。假设A是一个行列式为1的正交矩阵，那么根据定义，A满足以下条件：
1. A是一个方阵：行数等于列数。
2. A的行向量和列向量都是单位向量，即每个向量的模长为1。
3. A的行向量和列向量都两两正交，即每对向量的内积为0。要证明行列式为1的正交矩阵的特征值为1，我们可以按照以下步骤进行推导：假设λ是A的一个特征值，v是对应于λ的特征向量。根据特征值和特征向量的定义，我们有：Av = λv -------------- (1)将等式(1)两边同时取转置，得到：v^T A^T = v^T λ -------------- (2)因为A是正交矩阵，所以有：A^T A = I -------------- (3)将等式(3)代入等式(2)的左边，得到：v^T I = v^T λ -------------- (4)因为I是单位矩阵，所以v^T I = v^T，将等式(4)代入等式(2)，得到：v^T = v^T λ -------------- (5)由于特征向量v不为零向量，所以v^T不为零。我们可以将等式(5)两边同时除以v^T，得到：1 = λ -------------- (6)由于λ是任意的特征值，所以对于行列式为1的正交矩阵A，它的特征值都为1。
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本文概览：一个矩阵的特征值是它的特征多项式的根。因此，我们可以通过特征值来求得行列式为1的正交矩阵的特征值。假设A是一个行列式为1的正交矩阵，那么根据定义，A满足以下条件：1. A是一个方阵：行数等于列数。2. A的行向量和列向量都是单位向量，即每个向量的模长为1。3. A的行向量和列向量都两两正交，即每对向量的内积为0。要证明行列式为1的正交矩阵的特征值为1，我们可以按照以下步骤进行推导：假设λ是A的一个特征值，v是对应于λ的特征向量。根据特征值和特征向量的定义，我们有：Av = λv -------------