问问题描述
利用cauchy收敛原理证明单调有界数列必定收敛，求路过的大神指点，急！
答精选答案
单调有界数列必有极限是极限理论中一个很重要的结论,而柯西收敛准则则以另一种形式表这了这一结论。
本文就是利用数学理论证明了这两个定理是等价的。如果Xn∈R并且d(Xn,Xn+1)≤d(Xn-1,Xn)/2。数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有Z属于实数，当x,y>Z时，有|f(x)-f(y)|证明举例：证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)] 有极限证：对于任意的m,n属于正整数，m>n |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |=（1-1/m）→0由柯西收敛原理得{xn}收敛当m-n为偶数时 |x珐长粹短诔的达痊惮花n-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |=(1-1/(m-1)-1/m）→0由柯西收敛原理得{xn}收敛综上{xn}收敛，即{xn}存在极限数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|
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本文概览：单调有界数列必有极限是极限理论中一个很重要的结论,而柯西收敛准则则以另一种形式表这了这一结论。本文就是利用数学理论证明了这两个定理是等价的。如果Xn∈R并且d(Xn,Xn+1)≤d(Xn-1,Xn)/2。数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有Z属于实数，当x,y>Z时，有|f(x)-f(y)|证明举例：证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [