在线性代数中，线性变换可以用一个矩阵来表示。

这个矩阵被称为线性变换在给定基下的表示矩阵。下面是计算线性变换在给定基下的表示矩阵的方法：假设我们有一个线性变换 T：V -> W，其中 V 和 W 是向量空间，并且有一个基 B = {v1, v2, ..., vn} 是 V 的基，另外还有一个基 C = {w1, w2, ..., wm} 是 W 的基。要计算线性变换 T 在给定基 B 和 C 下的表示矩阵，需要按照以下步骤进行：

1. 确定基 B 中每个向量在基 C 下的坐标表示。即找到每个 vi 在基 C 下的坐标表示 [vi]C，这可以通过将 vi 表示为基 C 的线性组合来完成，即 vi = c1*w1 + c2*w2 + ... + cm*wm，其中 c1, c2, ..., cm 是实数。

2. 对于每个基向量 vi，在线性变换 T 下得到对应的向量 T(vi)。

3. 将每个 T(vi) 在基 C 下的坐标表示 [T(vi)]C 计算出来，这可以通过将 T(vi) 表示为基 C 的线性组合来完成，即 T(vi) = d1*w1 + d2*w2 + ... + dm*wm，其中 d1, d2, ..., dm 是实数。

4. 将每个 [T(vi)]C 的坐标表示 [T(vi)]C 放在一个矩阵的列中，这个矩阵就是线性变换 T 在给定基 B 和 C 下的表示矩阵。换句话说，表示矩阵的第 i 列就是线性变换 T(vi) 在基 C 下的坐标表示 [T(vi)]C。需要注意的是，表示矩阵的维度是 mxn，其中 m 是 W 的维度（基 C 的向量个数），n 是 V 的维度（基 B 的向量个数）。