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对于n阶矩阵A，若存在一个n阶可逆矩阵P，使P-1AP=Λ(Λ为对角矩阵)成立，则称A可相似对角化，否则就称A不可对角化。
概念是要牢记于心的。重要定理：若n阶矩阵A可以对角化，则对角矩阵Λ的n个主对角线元素必是A的n个特征值λ1，λ2，…，λn(包括重根)，其相似变换矩阵P的n个列向量X1，X2，…，Xn是A的分别属于λ1，λ2，…，λn的特征向量，且X1，X2，…，Xn线性无关，即有：P-1AP=Λ，其中Λ=diag(λ1，λ2，…，λn)，P=(X1，X2，…，Xn)为可逆阵，且AXj=λXj(j=1，2，…，n).并非所有的n阶矩阵都可对角化，只有满足一定条件的矩阵才可对角化，下面是几个相关结论：结论1：n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。结论2：若n阶矩阵A有n个两两不同的特征值，则A必可对角化。结论3：设λi是矩阵A的任一个特征值，其代数重数为ni(即λi是ni重特征值)，其几何重数为mi(即属于λi的线性无关的特征向量的最大个数，也是齐次线性方程组(λiE-A)X=0的基础解系中的向量个数，mi=n-r(λiE-A))，则恒有mi≤ni。结论4：设n阶矩阵A的两两不等的特征值为λ1，λ2，…，λs(1≤s≤n)，则矩阵A可对角化的充分必要条件是，对A的每一个特征值λi，都有mi=ni(i=1，2，…，s)。
答其他回答（4条）
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雨辰说电影
2026-09-30 07:44:16
对角化这个概念是针对矩阵而言的，并且矩阵的对角化源自于线形变换的化简，所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系(当然你看下去会发现不知道也可以)。
设一线性变换a，在基m下的矩阵为A，在基n下的矩阵为B，m到n的过渡矩阵为X，
那么可以证明：B=XAX
那么定义：A，B是2个矩阵。如果存在可逆矩阵X，满足B=XAX ，那么说A与B是相似的(是一种等价关系)。
如果存在可逆矩阵X使A与一个对角矩阵B相似，那么说A可对角化。
相应的，如果线性变换a在基m下的矩阵为A，并且A相似于对角矩阵B，那么令X为过渡矩阵即可求出基n，并且在n下线性变换a的矩阵为对角矩阵，从而达到了化简。
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玉凤路租房
2026-09-30 07:44:16
从线性映射的角度看，因为线性映射的矩阵表示与基的选取有关，如果存在一个基，在这个基下线性映射的矩阵是对角矩阵，那么称这个线性映射可对角化。
从矩阵的角度看，如果存在可逆矩阵P，使得A=P⁻¹DP，其中D为对角矩阵，那么称矩阵A可对角化。
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周牛牛牛牛大宝
2026-09-30 07:44:16
设M为元素取自交换体K中的n阶方阵，将M对角化，就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P，使M=PDP-1。
设f为典范对应于M的Kn的自同态，将M对角化，就是确定Kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵是对角矩阵。
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莉莉分享剧
2026-09-30 07:44:16
设T是n维线性空间V上一个线性变换。给定V的一个基α1,α2,...,αn，就得到T在这个基下的矩阵A；在不同的基下，T有不同的矩阵。线性变换T的对角化就是找V的一个适当的基，使得T在这个基下的矩阵成为对角阵。当然并非任意一个矩阵都能够对角化。T可以对角化的充要条件是T有n个线性无关的特征向量。
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评论列表（4条）
我是公众科技网的签约作者“菅田Q酱”！
希望本篇文章《线性对角化的定义》能对你有所帮助！
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本文概览：对于n阶矩阵A，若存在一个n阶可逆矩阵P，使P-1AP=Λ(Λ为对角矩阵)成立，则称A可相似对角化，否则就称A不可对角化。概念是要牢记于心的。重要定理：若n阶矩阵A可以对角化，则对角矩阵Λ的n个主对角线元素必是A的n个特征值λ1，λ2，…，λn(包括重根)，其相似变换矩阵P的n个列向量X1，X2，…，Xn是A的分别属于λ1，λ2，…，λn的特征向量，且X1，X2，…，Xn线性无关，即有：P-1AP=Λ，其中Λ=diag(λ1，λ2，…，λn)，P=(X1，X2，…，Xn)为可逆阵，且AXj=λXj(j=1