当积分表达式中含有积分时，求导需要根据具体情况选择合适的方法。以下是主要方法及步骤：

一、变限积分求导（莱布尼茨积分法则）

当积分上下限为变量时，可使用莱布尼茨积分法则。设

$$F(x) = int_{a(x)}^{b(x)} f(t, x) , dt$$

其导数为：

$$F'(x) = f(b(x), x) cdot b'(x) - f(a(x), x) cdot a'(x) + int_{a(x)}^{b(x)} frac{partial f(t, x)}{partial x} , dt$$

适用条件 ：积分上下限为变量，且被积函数含 $x$。

示例 ：若 $F（x） = int_{x^2}^{e^x} sin（t） , dt$，则

$$F'(x) = sin(e^x) cdot e^x - sin(x^2) cdot 2x + int_{x^2}^{e^x} cos(t) , dt$$

二、含参数积分求导

若积分上限或下限为参数（如 $x$），需将积分限代入被积函数，并对参数求导。例如：

$$F(x) = int_{a}^{x} f(t, x) , dt$$

此时，导数为：

$$F'(x) = f(x, x) + int_{a}^{x} frac{partial f(t, x)}{partial x} , dt$$

注意 ：若积分下限为常数，则只需考虑上限的导数项。

三、特殊函数求导

积分上限函数 ：若 $F（x） = int_{a}^{x} f（t） , dt$，则 $F'（x） = f（x）$（牛顿-莱布尼茨公式）。

含 $x$ 的被积函数 ：需使用莱布尼茨法则或分部积分法。例如：

$$F(x) = int_{0}^{x} t e^t , dt$$

先求原函数 $F（x） = （t-1）e^t Big|_0^x = （x-1）e^x + 1$，再求导得 $F'（x） = x e^x$。

四、注意事项

积分上下限为常数 ：若 $a$ 和 $b$ 为常数，则 $frac{d}{dx} int_{a}^{b} f（t） , dt = 0$。

被积函数含 $x$ 的偏导数 ：需对 $x$ 求偏导后再积分，如 $frac{partial f（t, x）}{partial x}$。

五、示例综合应用

求 $F（x） = int_{x^3}^{ln x} frac{t}{e^t} , dt$ 的导数：

应用莱布尼茨法则：

$$F'(x) = frac{ln x}{e^{ln x}} cdot frac{1}{x} - frac{x^3}{e^{x^3}} cdot 3x^2 + int_{x^3}^{ln x} frac{partial}{partial x} left( frac{t}{e^t} right) , dt$$

计算偏导数：

$$frac{partial}{partial x} left( frac{t}{e^t} right) = frac{1 - t}{e^t}$$

代入积分限：

$$F'(x) = frac{ln x}{x} cdot frac{1}{x} - frac{x^3}{e^{x^3}} cdot 3x^2 + int_{x^3}^{ln x} frac{1 - t}{e^t} , dt$$

通过以上方法，可系统处理积分中含有积分的求导问题。