关于积分限求导的问题，主要分为以下几种情况：

一、积分上限或下限为常数

若积分限为常数（如 $int_{a}^{c} f（t） , dt$），则导数为零：

$$left( int_{a}^{c} f(t) , dt right)' = 0$$

二、积分上限为自变量

若积分上限为自变量 $x$（如 $F（x） = int_{a}^{x} f（t） , dt$），则导数为被积函数在 $x$ 处的值：

$$F'(x) = f(x)$$

这是积分上限函数的基本求导法则。

三、积分下限为自变量

若积分下限为自变量 $x$（如 $F（x） = int_{x}^{a} f（t） , dt$），则导数为负的被积函数在 $x$ 处的值：

$$F'(x) = -f(x)$$

四、积分上下限均为自变量

若积分上下限均为自变量（如 $F（x） = int_{phi（x）}^{psi（x）} f（t） , dt$），则导数公式为：

$$F'(x) = f(psi(x)) cdot psi'(x) - f(phi(x)) cdot phi'(x)$$

这是通过莱布尼茨积分规则推导得出的。

示例

假设 $F（x） = int_{x^2}^{sin x} t , dt$，求导过程如下：

识别积分上下限函数：$phi（x） = x^2$，$psi（x） = sin x$。

计算导数：$phi'（x） = 2x$，$psi'（x） = cos x$。

应用公式：

$$F'(x) = f(sin x) cdot cos x - f(x^2) cdot 2x$$

其中 $f（t） = t$，所以：

$$F'(x) = sin x cdot cos x - x^2 cdot 2x = sin x cos x - 2x^3$$

五、被积函数含自变量

若被积函数 $f（t, x）$ 含自变量 $x$（如 $y = int_{a（x）}^{b（x）} f（t, x） , dt$），则需使用莱布尼茨积分规则：

$$frac{dy}{dx} = f(b(x), x) cdot b'(x) - f(a(x), x) cdot a'(x) + int_{a(x)}^{b(x)} frac{partial f(t, x)}{partial x} , dt$$

需注意：

计算被积函数在上下限处的值乘以上限/下限函数的导数；

计算被积函数对 $x$ 的偏导数，并对积分区间积分。

示例

假设 $y = int_{x}^{e^x} t ln t , dt$，求导过程如下：

识别积分上下限函数：$phi（x） = x$，$psi（x） = e^x$。

计算导数：$phi'（x） = 1$，$psi'（x） = e^x$。

应用莱布尼茨规则：

$$frac{dy}{dx} = e^x ln(e^x) cdot e^x - x ln x cdot 1 + int{x}^{e^x} frac{partial (t ln t)}{partial x} , dt$$

$$= e^x cdot x cdot e^x - x ln x + int{x}^{e^x} ln t , dt$$

$$= x e^{2x} - x ln x + left[ t ln t - t right]_{x}^{e^x}$$

$$= x e^{2x} - x ln x + left( e^x ln e^x - e^x - x ln x + x right)$$

$$= x e^{2x} - x ln x + e^x (x - 1) - x ln x + x$$

$$= x e^{2x} - 2