考研数学中关于积分求导的题型主要涉及变限积分求导和含积分上限函数的导数计算，以下是具体内容及典型例题：

一、变限积分求导

基本公式

若$F（x） = int_{a（x）}^{b（x）} f（t） , dt$，则$F'（x） = f（b（x）） cdot b'（x） - f（a（x）） cdot a'（x）$。

应用示例

例：求$frac{d}{dx} left（ int_{0}^{x^2} arctan（t） , dt right）$

解：令$F（x） = int_{0}^{x^2} arctan（t） , dt$，则$F'（x） = arctan（x^2） cdot （x^2）' = 2x arctan（x^2）$。

二、含积分上限函数的导数

基本定理

若$F（x） = int_{a}^{x} f（t） , dt$，则$F'（x） = f（x）$。

扩展形式

对于$F（x） = int_{a（x）}^{g（x）} f（t） , dt$，同样适用变限积分求导公式。

三、典型题型解析

变限积分求导综合题

例：求$frac{d}{dx} left（ int{0}^{x} frac{sin t}{1 + t^2} , dt - int{0}^{ln x} e^t , dt right）$

解：

$$

begin{aligned}

F'(x) &= frac{sin x}{1 + x^2} cdot 1 - e^{ln x} cdot frac{1}{x}

&= frac{sin x}{1 + x^2} - 1

end{aligned}

$$。

参数方程与变限积分结合

例：若$x = t^2$，求$frac{d}{dt} left（ int_{0}^{x} cos（tu） , dt right）$

解：令$F（t） = int{0}^{t^2} cos（tu） , dt$，则

$$

begin{aligned}

F'(t) &= cos(t cdot t^2) cdot (t^2)' + int{0}^{t^2} frac{partial}{partial t} cos(tu) cdot t^2 , dt

&= 2t cos(t^3) - int_{0}^{t^2} u sin(tu) cdot t^2 , dt

end{aligned}

$$。

四、注意事项

积分限可变 ：被积函数中若包含积分限（如$x^2$、$ln x$），需使用链式法则。

高阶导数 ：变限积分求导可推广到高阶导数，需多次应用莱布尼茨公式。

以上题型覆盖了考研数学中积分求导的核心内容，建议结合教材和真题进行系统练习。