关于考研数学中不定积分的计算方法，结合权威资料整理如下：

一、基本方法

凑微分法（第一类换元法）

通过代换将积分转化为易计算形式，例如：

对于 $int sqrt{a^2 - x^2} , dx$，令 $x = asin t$，则 $dx = acos t , dt$，原积分化为 $int a^2 cos^2 t , dt$。

分部积分法

适用于两个函数乘积的积分，公式为 $int u , dv = uv - int v , du$，例如：

$int x e^x , dx = x e^x - int e^x , dx = x e^x - e^x + C$。

有理函数积分

通过部分分式分解或长除法将分式转化为简单形式，例如：

$int frac{2x + 1}{x^2 + 2x + 1} , dx = int frac{2x + 1}{（x + 1）^2} , dx = ln|x + 1| + C$。

二、常见代换技巧

三角代换

$sqrt{a^2 - x^2}$：令 $x = asin t$，$dx = acos t , dt$

$sqrt{a^2 + x^2}$：令 $x = atan t$，$dx = asec^2 t , dt$

$sqrt{x^2 - a^2}$：令 $x = asec t$，$dx = asec t tan t , dt$。

倒代换

当分子次数高于分母时，令 $x = frac{1}{t}$，例如：

$int frac{1}{xsqrt{1 - x^2}} , dx = int frac{dt}{1 - t^2}$（通过 $x = frac{1}{t}$ 代换）。

根式代换

对于 $int sqrt{ax + b} , dx$，令 $t = sqrt{ax + b}$，则 $dx = frac{a}{2sqrt{ax + b}} , dt$。

三、注意事项

选择合适方法 ：

根式优先考虑三角代换或根式代换；

三角函数优先考虑三角代换；

被积函数为多项式乘积时考虑分部积分法。

简化计算 ：

计算过程中尽量将微分式子化简到底，避免重复计算。

结合定积分 ：

不定积分是定积分的基础，需掌握牛顿-莱布尼茨公式 $int_a^b f（x） , dx = F（b） - F（a）$。

四、典型题型示例

计算 $int frac{1}{1 + x^2} , dx$

令 $x = tan t$，则 $dx = sec^2 t , dt$，原积分化为 $int frac{sec^2 t}{1 + tan^2 t} , dt = arctan x + C$。

计算 $int xsqrt{1 - x^2} , dx$

令 $u = 1 - x^2$，则 $du = -2x , dx$，原积分化为 $-frac{1}{2} int sqrt{u} , du = -frac{1}{3}（1 - x^2）^{3/2} + C$。

通过以上方法与技巧，结合多练习，可有效提升不定积分的计算能力。