区间估计是统计学中用于估计总体参数范围的重要方法，其核心公式根据总体分布和样本情况有所不同。以下是考研数学中常见的区间估计公式及适用条件：

一、正态总体均值的区间估计

已知总体标准差（σ已知）

当总体服从正态分布$N（mu, sigma^2）$且$sigma$已知时，样本均值$bar{X}$的置信区间为：

$$bar{X} pm Z_{alpha/2} frac{sigma}{sqrt{n}}$$

其中$Z{alpha/2}$为标准正态分布的双侧临界值（如$alpha=0.05$时，$Z{0.025}=1.96$）。

未知总体标准差（σ未知）

当$sigma$未知时，用样本标准差$s$代替，采用$t$分布：

$$bar{X} pm t_{alpha/2, n-1} frac{s}{sqrt{n}}$$

其中$t_{alpha/2, n-1}$为自由度为$n-1$的$t$分布双侧临界值。

二、正态总体方差的区间估计

当总体服从正态分布$N（mu, sigma^2）$时，样本方差$S^2$的置信区间为：

$$left( frac{(n-1)S^2}{chi^2{alpha/2, n-1}}, frac{(n-1)S^2}{chi^2{1-alpha/2, n-1}} right)$$

其中$chi^2{alpha/2, n-1}$和$chi^2{1-alpha/2, n-1}$分别为自由度为$n-1$的$chi^2$分布的双侧临界值。

三、其他常见场景

成数（比例）的区间估计

对于总体比例$p$，当样本量足够大时，使用正态近似：

$$p pm Z_{alpha/2} sqrt{frac{p(1-p)}{n}}$$

若$p$未知，可用样本比例$hat{p}$代替。

小样本情况

当样本量$n < 30$时，需使用$t$分布进行区间估计（如均值差、方差等）。

四、注意事项

置信度选择 ：常见的置信度为$90%$（$Z{0.05}$）、$95%$（$Z{0.025}$）和$99%$（$Z_{0.005}$）。

软件应用 ：实际计算中可借助统计软件（如通达信、大智慧）直接调用相关函数（如TA.SD（）、T.DIST（））。

以上公式是考研数学中区间估计的核心内容，需结合具体问题选择适用分布和临界值，并注意样本量对分布选择的影响。