特征向量的取值要求如下：

非零向量

特征向量必须是非零向量。若向量 $mathbf{x}$ 是矩阵 $A$ 的特征向量，则满足 $Amathbf{x} = lambdamathbf{x}$，其中 $lambda$ 为对应的特征值。零向量不满足这一条件，因此不属于特征向量。

对应特征值的缩放因子

特征向量 $mathbf{x}$ 满足 $Amathbf{x} = lambdamathbf{x}$，即 $lambda$ 是向量 $mathbf{x}$ 在线性变换 $A$ 下的缩放因子。

特征空间的基

不同特征值对应的特征向量线性无关，且构成特征空间的一组基。例如，若矩阵 $A$ 有三个不同特征值，则其对应特征向量构成三维空间的一组基。

零特征值的特征向量

对应特征值 $lambda = 0$ 的特征向量需通过解齐次线性方程组 $Amathbf{x} = mathbf{0}$ 获得，其解空间构成特征空间的核（kernel）。

几何重数与代数重数

特征值的几何重数（对应特征空间的维数）不超过其代数重数（作为特征方程根的重数）。

数值计算中的注意事项

在实际计算中，需注意数值精度和误差控制，避免因浮点运算误差导致特征向量计算不准确。

总结：特征向量是线性代数中描述矩阵变换方向伸缩性质的重要概念，其非零性、线性无关性及与特征值的对应关系是核心要求。